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Un curso de geometría diferencial: teoría, problemas, soluciones y prácticas con ordenador (2ª ed. rev. y aum.)

Un curso de geometría diferencial: teoría, problemas, soluciones y prácticas con ordenador (2ª ed. rev. y aum.)

  • Author: Hernández Cifre, María Ángeles; Pastor González, José Antonio
  • Publisher: CSIC
  • Serie: Textos Universitarios
  • ISBN: 9788400105440
  • eISBN Pdf: 9788400105457
  • Place of publication:  Madrid , Spain
  • Year of publication: 2019
  • Pages: 420
La Geometría Diferencial es una disciplina presente en el núcleo central de todos los estudios de Matemáticas, así como una herramienta básica en el desarrollo de otras ciencias como Física, Biología, Arquitectura e Ingeniería. En este libro se presenta un curso de Geometría Diferencial sobre curvas y superficies enfocado a satisfacer las necesidades de los estudiantes, tanto de grado como de máster, que requieren de esta disciplina para consolidar su formación. Conscientes de que para el estudio de la Geometría Diferencial son necesarios conocimientos previos y un cierto grado de madurez científica, los autores han elaborado el texto con una clara pretensión didáctica, empleando un lenguaje directo y sencillo, con el desarrollo de demostraciones detalladas y, finalmente, con una exhaustiva relación de ejercicios (y su correspondiente resolución, así como el empleo de un software específico). El estudiante tiene así en estas páginas una buena herramienta para el aprendizaje de esta singular rama de las Matemáticas, verdadero puente que comunica y relaciona disciplinas como la Topología, el Álgebra y el Análisis. En esta segunda edición se ha abordado una exhaustiva corrección y mejora de pequeños errores e imprecisiones, y se ha efectuado una revisión a fondo de algunas partes del libro susceptibles de mejora y que han sido actualizadas. Además, se han incluido nuevos contenidos que en la primera edición no tuvieron cabida por diversas razones, como el Teorema de Hilbert y diferentes resultados sobre curvas convexas. Por último, se han incorporado nuevos ejercicios que refuerzan tanto los temas de la primera edición como los añadidos en esta segunda. Gran parte de las nuevas demostraciones incluyen pasos y detalles con un alto grado de dificultad. En este sentido, y con el mismo espíritu de la primera edición, se procura aclarar al máximo los puntos no suficientemente explícitos de estas pruebas y se completa con las referencias bibliográficas aparecidas en estos años.
  • Cover
  • Title page
  • Copyright page
  • Sumario
  • Prefacio a la segunda edición
  • Prólogo
  • Introducción
  • Terminología básica
  • Capítulo I. Curvas en el plano y en el espacio
    • 1.1. Curvas parametrizadas. La longitud de arco
      • 1.1.1. El cambio de parámetro y la longitud de arco
    • 1.2. Teoría local de curvas planas
      • 1.2.1. La curvatura y el diedro de Frenet
      • 1.2.2. Teorema fundamental de la teoría local de curvas planas
      • 1.2.3. Evolutas, involutas y curvas paralelas
      • 1.2.4. Comparación de dos curvas en un punto
    • 1.3. Teoría local de curvas en el espacio
      • 1.3.1. La curvatura, la torsión y el triedro de Frenet
      • 1.3.2. Teorema fundamental de la teoría local de curvas en el espacio
    • 1.4. Teoría global de curvas planas
      • 1.4.1. Curvas convexas
      • 1.4.2. La desigualdad isoperimétrica
      • 1.4.3. El teorema de los cuatro vértices
    • Ejercicios
  • Capítulo II. Las superficies regulares
    • 2.1. Definición y primeros ejemplos
      • 2.1.1. Criterios prácticos para la determinación de superficies
      • 2.1.2. Propiedades de las superficies regulares
      • 2.1.3. El cambio de coordenadas
    • 2.2. Funciones diferenciables definidas en superficies
      • 2.2.1. Aplicaciones diferenciables definidas entre superficies
      • 2.2.2. Difeomorfismos entre superficies
    • 2.3. El plano tangente
    • 2.4. La diferencial de una aplicación entre superficies
      • 2.4.1. La diferencial de una función real sobre una superficie
      • 2.4.2. La diferencial de una aplicación entre superficies
    • 2.5. La primera forma fundamental
      • 2.5.1. Aplicaciones de la primera forma fundamental: midiendo longitudes, ángulos y áreas
    • Ejercicios
  • Capítulo III. El teorema Egregium de Gauss
    • 3.1. Campos de vectores en superficies
    • 3.2. Orientación de superficies
      • 3.2.1. Otra forma de estudiar la orientabilidad
      • 3.2.2. La estructura compleja de una superficie
      • 3.2.3. Bases positivas y negativas
      • 3.2.4. Sobre la orientabilidad en este texto
    • 3.3. La segunda forma fundamental
    • 3.4. La aceleración de una curva: curvaturas geodésica y normal
      • 3.4.1. La curvatura geodésica
      • 3.4.2. La curvatura normal
      • 3.4.3. Interpretación geométrica de la curvatura normal
    • 3.5. Las curvaturas principales
      • 3.5.1. Puntos umbilicales
    • 3.6. Expresión local de la segunda forma fundamental, la curvatura de Gauss y la curvatura media
    • 3.7. La geometría de la curvatura de Gauss
    • 3.8. Isometrías locales
    • 3.9. El teorema Egregium de Gauss
      • 3.9.1. Las fórmulas de Gauss y de Weingarten
      • 3.9.2. Ecuaciones de compatibilidad. Teorema Egregium de Gauss
    • 3.10. Aplicaciones conformes e isoareales. Cartografía
    • Ejercicios
  • Capítulo IV. Geodésicas en superficies
    • 4.1. La derivada covariante y el transporte paralelo
      • 4.1.1. Campos de vectores paralelos
      • 4.1.2. El transporte paralelo
    • 4.2. Geodésicas
      • 4.2.1. Existencia y unicidad de geodésicas en una superficie
      • 4.2.2. La curvatura geodésica
    • 4.3. La aplicación exponencial
      • 4.3.1. Entornos normales y uniformemente normales
      • 4.3.2. El lema de Gauss
      • 4.3.3. Las coordenadas normales
      • 4.3.4. Las coordenadas geodésicas polares
    • Ejercicios
  • Capítulo V. Cálculo variacional en superficies
    • 5.1. Variaciones de la longitud. Las fórmulas de variación
      • 5.1.1. La primera fórmula de variación para la longitud de arco
      • 5.1.2. La segunda fórmula de variación para la longitud de arco
    • 5.2. Integración en superficies
      • 5.2.1. Una aproximaci ´on intuitiva al concepto de ´area
      • 5.2.2. Integraci ´on de funciones
  • Capítulo VI. Geometría Diferencial Global
    • 6.1. Completitud. El teorema de Hopf-Rinow
      • 6.1.1. Distancia intrínseca en una superficie
      • 6.1.2. El teorema de Hopf-Rinow
    • 6.2. El teorema de rigidez de la esfera
    • 6.3. El teorema de Hilbert
    • Ejercicios
  • Capítulo VII. El teorema de Gauss-Bonnet
    • 7.1. El teorema de Gauss-Bonnet (versión local)
      • 7.1.1. El ángulo de rotación de una curva plana regular a trozos
      • 7.1.2. Holonomía
      • 7.1.3. La curvatura geodésica en una parametrización ortogonal
      • 7.1.4. El teorema de Green en R
      • 7.1.5. El teorema de Gauss-Bonnet (versión local)
    • 7.2. El teorema de Gauss-Bonnet (versión global)
      • 7.2.1. Triangulaciones. La característica de Euler-Poincar ´e
      • 7.2.2. El teorema de Gauss-Bonnet (versión global)
    • 7.3. Consecuencias del teorema de Gauss-Bonnet
      • 7.3.1. Una aplicación a la Geometría clásica
    • Ejercicios
  • Prácticas con Mathematica
  • Apéndice A. Curvas. Prácticas con Mathematica
    • A.1. Geometría diferencial de curvas planas
      • A.1.1. La curvatura de una curva plana y la longitud de arco
      • A.1.2. Representación gráfica de curvas
      • A.1.3. Algunos ejemplos de curvas planas clásicas
      • A.1.4. Gráficas de funciones definidas a trozos
      • A.1.5. Generación dinámica de algunas curvas
      • A.1.6. Evolutas y curvas paralelas
    • A.2. Geometría diferencial de curvas en el espacio
      • A.2.1. Representación gráfica de curvas alabeadas
      • A.2.2. El triedro de Frenet, la curvatura y la torsión
  • Apéndice B. Superficies. Prácticas con Mathematica
    • B.1. Ejemplos de superficies
      • B.1.1. Superficies de revolución
      • B.1.2. Superficies no orientables
      • B.1.3. Superficies minimales
    • B.2. La curvatura de Gauss y la curvatura media
    • B.3. Geodésicas
  • Apéndice C. Soluciones a los ejercicios
    • Soluciones a los ejercicios del Capítulo I
    • Soluciones a los ejercicios del Capítulo II
    • Soluciones a los ejercicios del Capítulo III
    • Soluciones a los ejercicios del Capítulo IV
    • Soluciones a los ejercicios del Capítulo V
    • Soluciones a los ejercicios del Capítulo VI
  • Bibliografía
  • Índice terminológico

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